Giải bài 18 trang 74

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=2BC$. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AIKD và BIKC là hình vuông.

b) $IK=\frac{DC}{2}$ và $\widehat{DIC}={90}^0$.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì I là trung điểm của AB nên $AI=IB=\frac{1}{2}AB$

Vì K là trung điểm của CD nên $DK=CK=\frac{1}{2}DC$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD, $AB=CD$, $AD=BC$

Do đó, $IA=IB=DK=CK$

Mà $AB=2BC$ nên $IA=IB=DK=CK=AD=BC$

Tứ giác AIKD có: $DK=AI$, AI//DK nên AIKD là hình bình hành. Mà $IA=AD$ nên AIKD là hình thoi. Lại có $\hat{A}={90}^0$ nên AIKD là hình vuông.

Tứ giác BIKC có: $IB=KC$, BI//CK nên BIKC là hình bình hành. Mà $IB=BC$ nên BIKC là hình thoi. Lại có $\hat{B}={90}^0$ nên BIKC là hình vuông.

b) Vì AIKD là hình vuông nên $IK=DK=\frac{DC}{2}$ và $\widehat{IDC}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}={45}^0$

Vì BIKC là hình vuông nên $\widehat{DCI}=\frac{1}{2}\widehat{DCB}={45}^0$

Tam giác DIC có: $\widehat{DIC}={180}^0-\widehat{DCI}-\widehat{CDI}={90}^0$