Giải bài 18 trang 95

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Trên cạnh $AD,BC$ lần lượt lấy điểm $E,F$ sao cho $AE=CF$. Trên cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy điểm $M,N$ sao cho $BM,DN$. Chứng minh:

a)     Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành;

b)    Bốn đường thẳng $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

a)     Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD=BC$ và $AB=CD$; $\hat{A}=\hat{C}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$.

Mà $AE=CF$ và $BM=DN$, suy ra $DE=BF$ và $AM=CN$.

$\Delta AEM=\Delta CFN$(c.g.c). Suy ra $EM=FN$

$\Delta BFM=\Delta DEN$(c.g.c). Suy ra $FM=EN$

Tứ giác $EFMN$ có $EM=FN$ và $FM=EN$ nên $EMFN$ là hình bình hành.

b)    Tứ giác $BMDN$ có $BM=DN$ và $BM//DN$ nên $BMDN$ là hình bình hành.

Do $ABCD,EMFN,BMDN$ đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.