Giải bài 19 trang 108

Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=25OA=25OA = 25cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Đề bài

Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho $O A = 25$ cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.

a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $Δ O A C = Δ O A B (g . c . g)$ để suy ra $\hat{A C O} = 90^{\circ}$ .

b) Tính AC: định lý Pythagore trong tam giác vuông AOC.

Tính CB: $C B = H C + H B .$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OCB có $O C = O B (= R)$ nên tam giác OCB cân tại O, mà $O H ⊥ C B$ nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác OCB, suy ra $\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ .

Xét tam giác OAC và OAB có:

$\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ ;

OA chung;

$O C = O B$

Do đó $Δ O A C = Δ O A B (g . c . g)$ , suy ra $\hat{A C O} = \hat{A B O}$ .

Mà $\hat{A B O} = 90^{\circ}$ (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)) nên $\hat{A C O} = 90^{\circ}$ .

Vậy AC là tiếp tuyến của (O).

b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOC ta có:

$A C = \sqrt{A O^{2} - C O^{2}} = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = 20$ cm.

Vì $Δ O A C = Δ O A B$ nên $A C = A B = 20$ cm.

Xét tam giác OCH và OAC ta có:

$\hat{O_{1}}$ chung;

$\hat{O H C} = \hat{O C A} (= 90^{\circ})$

nên $Δ O H C ∽ Δ O C A (g . g)$

Do đó $\frac{H C}{C A} = \frac{O C}{O A}$ hay $H C = \frac{C A . O C}{O A} = \frac{20.15}{25} = 12$ cm.

Vì OH là đường trung tuyến của tam giác OCB nên $H C = H B = 12 c m$

và $C B = H C + H B = 12 + 12 = 24 c m$ .

Vậy $A C = A B = 20$ cm; $C B = 24 c m$ .