Giải bài 19 trang 48

Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có (AB = 2a,AD = 3a,AA' = 4aleft( {a > 0} right)). Gọi (M,N,P) lần lượt là các điểm thuộc các tia (AB,AD,AA') sao cho (AM = a,AN = 2a,AP = 3a). Tính khoảng cách từ điểm (C') đến mặt phẳng (left( {MNP} right)).

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = 2 a, A D = 3 a, A A^{'} = 4 a (a > 0)$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là các điểm thuộc các tia $A B, A D, A A^{'}$ sao cho $A M = a, A N = 2 a, A P = 3 a$ . Tính khoảng cách từ điểm $C^{'}$ đến mặt phẳng $(M N P)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gắn vào hệ trục toạ độ và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Vì $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng $A B, A D, A A^{'}$ đôi một vuông góc. Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ $O x y z$ thoả mãn $A (0; 0; 0), B (2 a; 0; 0), D (0; 3 a; 0),$ $A^{'} (0; 0; 4 a)$ .

Khi đó $M (a; 0; 0), N (0; 2 a; 0), P (0; 0; 3 a), C^{'} (2 a; 3 a; 4 a)$ .

Phương trình mặt phẳng $(M N P)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{2 a} + \frac{z}{3 a} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{2 a} + \frac{z}{3 a} - 1 = 0$ .

Khi đó khoảng cách từ điểm $C^{'}$ đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng:

$d (C^{'}, (M N P)) = \frac{| \frac{2 a}{a} + \frac{3 a}{2 a} + \frac{4 a}{3 a} - 1 |}{\sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} + {(\frac{1}{2 a})}^{2} + {(\frac{1}{3 a})}^{2}}} = \frac{\frac{23}{6}}{\sqrt{\frac{49}{36 a^{2}}}} = \frac{23 a}{7}$ .