Giải bài 19 trang 58

Cho a=√3−2√2a=3−22a = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } và b=√3+2√2b=3+22b = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } . Chứng minh: a) a−ba−ba - b là một số nguyên. b) ababab là một số tự nhiên.

Đề bài

Cho $a = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ và $b = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ . Chứng minh:

a) $a - b$ là một số nguyên.

b) $a b$ là một số tự nhiên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Biến đổi $3 - 2 \sqrt{2}$ và $3 + 2 \sqrt{2}$ thành bình phương của một hiệu và một tổng.

Bước 2: Rút gọn các biểu thức $a - b$ và $a b$ .

Lời giải chi tiết

a) $a - b$ $= \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}$ $= | \sqrt{2} - 1 | - | \sqrt{2} + 1 |$ $= (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)$ $= - 2.$

Vậy $a - b$ là một số nguyên.

b) $a . b$ $= \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} . \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}$ $= | \sqrt{2} - 1 | . | \sqrt{2} + 1 |$ $= (\sqrt{2} - 1) . (\sqrt{2} + 1)$ $= {(\sqrt{2})}^{2} - 1$ $= 2 - 1$ $= 1.$

Vậy $a b$ là một số tự nhiên.