Giải bài 19 trang 66

Cho tứ giác ABCDABCDABCD có AD=BCAD=BCAD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm MMM và NNN lần lượt của các cạnh ABABAB và CDCDCD cắt các đường thẳng ADADAD và BCBCBC lần lượt tại EEE và FFF. Chứng minh: ˆAEM=ˆMFBAEM^=MFB^\widehat {AEM} = \widehat {MFB}.

Đề bài

Cho tứ giác $A B C D$ có $A D = B C$ . Đường thẳng đi qua trung điểm $M$ và $N$ lần lượt của các cạnh $A B$ và $C D$ cắt các đường thẳng $A D$ và $B C$ lần lượt tại $E$ và $F$ . Chứng minh: $\hat{A E M} = \hat{M F B}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Lấy $I$ là trung điểm của $B D$ . Do $M I . N I$ lần lượt là các đường trung bình của tam giác $A B D$ và $B D C$ nên $M I = \frac{A D}{2}$ , $M I / / A D, N I = \frac{B C}{2}; N I / / B C$ . Mà $A D = B C$ nên $M I = N I$ , suy ra tam giác $I M N$ cân ở $I$ .

Do đó $\hat{I M N} = \hat{I N M}$ . Lại có $\hat{I M N} = \hat{A E M}$ (hai góc đồng vị, $I M / / A E$ ). Suy ra $\hat{I N M} = \hat{A E M}$ . Mặt khác $\hat{I N M} = \hat{M D B}$ (hai góc so le trong, $I N / / F B$ ). Suy ra $\hat{A E M} = \hat{M F B}$ .