Giải bài 19 trang 91

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng: a) (widehat {NCA} = widehat {MFN}) và (widehat {NEA} = widehat {NCA}) b) CM + CN = EF.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:

a) $\hat{N C A} = \hat{M F N}$ và $\hat{N E A} = \hat{N C A}$

b) CM + CN = EF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tứ giác NACE nội tiếp đường tròn suy ra $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ .

Chứng minh CN = CE và CM = CF suy ra CM + CN = EF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có các điểm A, M, C, F cách đều điểm I (trung điểm của MF) suy ra tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn. Do tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn nên $\hat{M C A} = \hat{M F A}$ hay $\hat{N C A} = \hat{M F N}$

Tương tự tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ .

b) Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên $\hat{E N C} = \hat{E A C} = 45^{o}$ . Mà $\hat{N C E} = 90^{o}$ . Suy ra tam giác CEN cân tại C. Vì thế CN = CE (1).

Tương tự tam giác CMF cân tại C suy ra CM = CF (2).

Từ (1) và (2) suy ra CM + CN = CE + CF = EF.