Giải bài 2.1 trang 30

Đề bài

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$

a) $2 + 4 + 6 + . . . + 2 n = n (n + 1)$

b) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh mệnh đề đúng với $n \geq p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = p$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có $2.1 = 1. (1 + 1)$

Vậy a) đúng với $n = 1$

Giải sử a) đúng với $n = k$ tức là ta có $2 + 4 + 6 + . . . + 2 k = k (k + 1)$

Ta chứng minh a) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh $2 + 4 + 6 + . . . + 2 k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$

Thật vậy, ta có

$(2 + 4 + 6 + . . . + 2 k) + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$

Vậy a) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 1.$

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có $1^{2} = \frac{1. (1 + 1) (2.1 + 1)}{6}$

Vậy b) đúng với $n = 1$

Giải sử b) đúng với $n = k$ tức là ta có $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

Ta chứng minh b) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + k^{2} + (k + 1)^{2} = \frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + k^{2} + (k + 1)^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} \\ = \frac{(k + 1)}{6} [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)] = \frac{(k + 1)}{6} . (2 k^{2} + k + 6 k + 6) \\ = \frac{(k + 1)}{6} . (2 k^{2} + 7 k + 6) = \frac{(k + 1)}{6} . (k + 2) . (2 k + 3) \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6} \end{array}$

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 1.$