Giải bài 2.10 trang 43

Đề bài

Giả sử $C\left(x\right)=18000+500x--1,6x^2+0,004x^3$(nghìn đồng) là hàm chi phí và $p\left(x\right)=1500--3x$ (nghìn đồng) là hàm cầu của $x$ đơn vị một loại hàng hóa nào đó.

a) Tìm công thức của hàm lợi nhuận $P\left(x\right)$, biết rằng hàm lợi nhuận bằng hiệu của hàm doanh thu và hàm chi phí.

b) Tìm mức sản xuất x để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Hàm doanh thu của x đơn vị hàng hóa là: $R\left(x\right)=xp\left(x\right)=1500x-3x^2$

Hàm lợi nhuận là:

$\begin{array}{c}P\left(x\right)=R\left(x\right)--C\left(x\right)=1500x--3x^2--(18000+500x--1,6x^2+0,004x^3)\\ =1500x--3x^2--18000--500x+1,6x^2--0,004x^3\\ =--0,004x^3--1,4x^2+1000x--18000.\end{array}$

b) Xét hàm lợi nhuận P(x) = – 0,004x³ – 1,4x² + 1 000x – 18 000 (nghìn đồng) với x ≥ 0.

Ta có P’(x) = –0,012x² – 2,8x + 1 000.

P’(x) = 0 ⟺ –0,012x² – 2,8x + 1 000 = 0 ⇔ x ≈ 194,69.

Ta có P(194) = 94 104,064 và P(195) = 94 105,5 nên P(194) < P(105).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất là x = 195 đơn vị hàng hóa.