Giải bài 2.11 trang 24

Biết số tự nhiên a chia 6 dư 5. Chứng minh ({a^3}) chia 6 dư 5.

Đề bài

Biết số tự nhiên a chia 6 dư 5. Chứng minh $a^{3}$ chia 6 dư 5.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Vì a chia 6 dư 5 nên $a = 6 n + 5$ .

Ta xét $a^{3} = {(6 n + 5)}^{3}$ .

Lời giải chi tiết

Vì a chia 6 dư 5 nên $a = 6 n + 5$

Do đó, ta xét

$a^{3} = {(6 n + 5)}^{3} = {(6 n)}^{3} + 3. {(6 n)}^{2} .5 + 3.6 n {.5}^{2} + 5^{3}$

$= 216 n^{3} + 540 n^{2} + 450 n + 125$

$= 216 n^{3} + 540 n^{2} + 450 n + 120 + 5$

$= 6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n + 20) + 5$ .

Vì $6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n + 20) ⋮ 6$ nên $6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n + 20) + 5$ chia 6 dư 5.

Vậy $a^{3}$ chia 6 dư 5.