Giải bài 2.11 trang 25

Cho (a > b > 0), chứng minh rằng a) ({a^2} > ab) và (ab > {b^2}); b) ({a^2} > {b^2}) và ({a^3} > {b^3}). Chú ý: Tính chất “Với (a > b > 0) thì ({a^2} > {b^2}) và ({a^3} > {b^3})” thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Đề bài

Cho $a > b > 0$ , chứng minh rằng

a) $a^{2} > a b$ và $a b > b^{2}$ ;

b) $a^{2} > b^{2}$ và $a^{3} > b^{3}$ .

Chú ý: Tính chất “Với $a > b > 0$ thì $a^{2} > b^{2}$ và $a^{3} > b^{3}$ ” thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Với ba số a, b, c và $c > 0$ ta có: $a > b$ thì $a c > b c$ .

b) Nếu $a > b, b > c$ thì $a > c$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì $a > b > 0$ nên:

+ $a . a > a b$ , suy ra $a^{2} > a b$ .

+ $a . b > b . b$ , suy ra $a b > b^{2}$ .

b) Theo ý a và tính chất bắc cầu ta có: $a^{2} > b^{2}$ .

Do đó, $a^{2} . a > b^{2} . a$ và $b^{2} . a > b^{2} . b$ .

Suy ra $a^{3} > b^{3}$ .