Giải bài 2.11 trang 36

Mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

Đề bài

Mỗi dãy số $(u_{n})$ sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) $u_{n} = 4 - 3 n$ ;

b) $u_{n} = n^{2} + 1$ ;

c) $u_{n} = 2 n + 5$ ;

d) $u_{1} = 3, u_{n + 1} = u_{n} + n$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng $(u_{n})$ với công thức d được cho bởi công thức: $u_{n} = u_{n - 1} + d$ với $n \geq 2$ .

Lấy $u_{n + 1} - u_{1} = d$ , nếu d là hằng số thì $(u_{n})$ là cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

a) $u_{n} = 4 - 3 n$ nên $u_{n + 1} = 4 - 3 (n + 1) = 1 - 3 n$ .

Do đó, $u_{n + 1} - u_{n} = (1 - 3 n) - (4 - 3 n) = - 3$ $\forall n \in N$ .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu là 4, công sai là

b) $u_{n} = n^{2} + 1$ nên $u_{n + 1} = {(n + 1)}^{2} + 1 = n^{2} + 2 n + 2$ .

Do đó, $u_{n + 1} - u_{n} = (n^{2} + 2 n + 2) - (n^{2} + 1) = 2 n + 1$ , phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

c) $u_{n} = 2 n + 5$ nên $u_{n + 1} = 2 (n + 1) + 5 = 2 n + 7$ .

Do đó, $u_{n + 1} - u_{n} = (2 n + 7) - (2 n + 5) = 2$ $\forall n \in N$ .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{n + 1} - u_{n} = n$ , phụ thuộc vào n. Vậy dãy số không là cấp số cộng.