Giải bài 2.12 trang 37

Đề bài

Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3 x)^{n}$ là 90. Tìm n.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k}$

Do đó hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(1 - 3 x)^{n}$ hay $(- 3 x + 1)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (- 3 x)^{k} 1^{n - k}$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ , tức là số hạng $C_{n}^{n - 2} (- 3 x)^{2}$ hay $9. C_{n}^{n - 2}$

Do đó $9. C_{n}^{n - 2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{n - 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)! (n - (n - 2))!} = 10$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)! 2!} = 10 \Leftrightarrow \frac{n (n - 1)}{2} = 10 \\ \Leftrightarrow n^{2} - n - 20 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 5 \\ n = - 4 (L) \end{array} \end{array}$

Vậy $n = 5$ thì hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3 x)^{n}$ là 90.