Giải bài 2.12 trang 45

Đề bài

a) Giả sử G là một đồ thị với n đỉnh và $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}+2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh G có một chu trình Hamilton.

b) Tìm một đồ thị với n đỉnh và $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}+1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.

Lời giải chi tiết

a) Định lí Ore: Nếu G là một đồ thị có n đỉnh $\left(n\ge 3\right)$ và mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn n thì G có một chu trình Hamilton.

Ta có lí thuyết: Giả sử G là đồ thị đơn gồm n đỉnh và m cạnh. Nếu $m\ge \frac{n^2-3n+6}{2}$ thì G là đồ thị có chu trình Hamilton.

Áp dụng vào bài toán ta được điều phải chứng minh.

b) Ta có đồ thị sau có 5 đỉnh, 7 cạnh và đồ thị không có chu trình Hamilton.