Giải bài 2.12 trang 46

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $| \vec{a} | = 1$ , $| \vec{b} | = 2$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$ .

Tính các tích vô hướng sau:

a) ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$

b) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

c) $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b})$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đầu tiên thực hiện tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , ${(\vec{a})}^{2}$ và ${(\vec{b})}^{2}$ để sử dụng kết quả đó trong các ý.

Ý a: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức bình phương một tổng), thay giá trị tích vô hướng trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý b: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương), thay giá trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý c: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (nhân hai đa thức), thay giá trị tích vô hướng và trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Lời giải chi tiết

Ta có $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos 45^{\circ} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ ; ${(\vec{a})}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} = 1$ và ${(\vec{b})}^{2} = {| \vec{b} |}^{2} = 4$ .

a) Ta có ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {(\vec{a})}^{2} + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + {(\vec{b})}^{2} = 1 + 2 \cdot \sqrt{2} + 4 = 5 + 2 \sqrt{2}$ .

b) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2} = 1 - 4 = - 3$ .

c) Ta có:

$(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = 2 {\vec{a}}^{2} + 6 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - 3 \cdot {\vec{b}}^{2} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - 3 \cdot 4 = 2 + 5 \cdot \sqrt{2} - 12 = - 10 + 5 \sqrt{2}$ .