Giải bài 2.13 trang 46

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh BC, suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC . Vì vậy $MN\parallel AC$ và $MN=\frac{1}{2}AC$.

Tương tự ta cũng có PQ là đường trung bình của tam giác ACD do đó $PQ\parallel AC$ và $PQ=\frac{1}{2}AC$. Suy ra $MN\parallel PQ$ và $MN=PQ$, do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Khi đó ta có G là trung điểm của mỗi đường chéo MP và NQ.

Suy ra $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GP}$ hay $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}$.

Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$

$=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GP}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}\right)=\overrightarrow{0}$.