Giải bài 2.14 trang 32

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=-x-y$ với $\left(x;y\right)$ thỏa mãn hệ trên.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d_1:y-2x=2$ đi qua (0; 2) và (-1; 0). 

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_1$. Vì 0 - 2.0 = 0 < 2 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $y-2x\le 2$ là nửa mp bờ $d_1$, chứa điểm O.

Bước 2: Vẽ đường thẳng $d_2:y=4$ đi qua (0; 4) và (1; 4). 

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_2$. Vì 0 < 4 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $y\le 4$ là nửa mp bờ $d_2$, chứa điểm O.

Bước 3: Vẽ đường thẳng $d_3:x=5$ đi qua (5; 0) và (5; 1). 

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_3$. Vì 0 < 5 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $x\le 5$ là nửa mp bờ $d_3$, chứa điểm O.

Bước 4: Vẽ đường thẳng $d_4:x+y=-1$ đi qua (-1; 0) và (0; -1). 

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_4$. Vì 0 + 0 = 0 > -1 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $x+y\ge -1$ là nửa mp bờ $d_4$, chứa điểm O.

 

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với:

A(1; 4); B(5; 4), C(5; -6); D(-1; 0).

Giá trị F tại các điểm A, B, C, D lần lượt là:

$F\left(1;4\right)=-1-4=-5$;

$F\left(5;4\right)=-5-4=-9$;

$F\left(5;-6\right)=-5-(-6)=1$;

$F\left(-1;0\right)=-\left(-1\right)-0=1$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) là 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) là -9.