Giải bài 2.14 trang 32

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} y - 2 x \leq 2 \\ y \leq 4 \\ x \leq 5 \\ x + y \geq - 1 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F (x; y) = - x - y$ với $(x; y)$ thỏa mãn hệ trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình $y - 2 x \leq 2$ ; $y \leq 4$ ; $x \leq 5$ và $x + y \geq - 1$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bước 1: Vẽ đường thẳng $a x + b y = c$ .

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng $a x + b y = c$ và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F (x; y) = - x - y$ .

Bước 1: Xác định các đỉnh của đa giác.

Bước 2: Tính giá trị $F (x; y) = - x - y$ tại các đỉnh đó và kết luận.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d_{1} : y - 2 x = 2$ đi qua (0; 2) và (-1; 0).

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_{1}$ . Vì 0 - 2.0 = 0 < 2 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $y - 2 x \leq 2$ là nửa mp bờ $d_{1}$ , chứa điểm O.

Bước 2: Vẽ đường thẳng $d_{2} : y = 4$ đi qua (0; 4) và (1; 4).

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_{2}$ . Vì 0 < 4 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $y \leq 4$ là nửa mp bờ $d_{2}$ , chứa điểm O.

Bước 3: Vẽ đường thẳng $d_{3} : x = 5$ đi qua (5; 0) và (5; 1).

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_{3}$ . Vì 0 < 5 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $x \leq 5$ là nửa mp bờ $d_{3}$ , chứa điểm O.

Bước 4: Vẽ đường thẳng $d_{4} : x + y = - 1$ đi qua (-1; 0) và (0; -1).

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc $d_{4}$ . Vì 0 + 0 = 0 > -1 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $x + y \geq - 1$ là nửa mp bờ $d_{4}$ , chứa điểm O.

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với:

A(1; 4); B(5; 4), C(5; -6); D(-1; 0).

Giá trị F tại các điểm A, B, C, D lần lượt là:

$F (1; 4) = - 1 - 4 = - 5$ ;

$F (5; 4) = - 5 - 4 = - 9$ ;

$F (5; - 6) = - 5 - (- 6) = 1$ ;

$F (- 1; 0) = - (- 1) - 0 = 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) là 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) là -9.