Giải bài 2.14 trang 44

Đề bài

Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức

$F=\frac{cmg}{c\sin \theta +\cos \theta }$

trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi $\tan \theta =c.$

Lời giải chi tiết

Xét $F\left(\theta \right)=\frac{cmg}{c\sin \theta +\cos \theta },\theta \in \left[0^{\circ },{90}^{\circ }\right]$.

$\begin{array}{c}{F}^{\prime }\left(\theta \right)=\frac{-cmg\left(c.cos\theta -\sin \theta \right)}{{\left(c\sin \theta +\cos \theta \right)}^2}\\ F^{\prime }\left(\theta \right)=0\iff c.cos\theta -\sin \theta =0\iff \tan \theta =c\end{array}$

Giả sử $\theta ={\theta }_0$ thỏa mãn $\tan {\theta }_0=c$.

Ta thấy: Khi $0\le \theta <{\theta }_0$ thì $F^{\prime }\left(\theta \right)<0$, khi ${\theta }_0<\theta \le {90}^{\circ }$ thì $F^{\prime }\left(\theta \right)>0$.

Do đó lực kéo F nhỏ nhất tại $\theta ={\theta }_0$ tức là khi $\tan {\theta }_0=c$.