Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:
a) −−→AC⋅−−−→B′D′;
b) −−→BD⋅−−−→B′C′;
c) −−−→A′B′⋅−−→AC′.
Ý a: Đưa hai vectơ về một gốc, ta thấy hai vectơ vuông góc.
Ý b: : Đưa hai vectơ về một gốc, từ đó xác định góc giữa chúng từ áp dụng công thức tích vô hướng để giải.
Ý c: Đưa hai vectơ về một gốc, áp dụng kiến thức về định lý ba đường vuông góc trong quá trình tìm cạnh và góc, cuối cùng tính toán, áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có −−−→B′D′=−−→BD.
Mặt khác BD⊥AC(do ABCD là hình vuông) hay −−→BD⊥−−→AC,
suy ra −−→AC⋅−−−→B′D′=−−→AC⋅−−→BD=0.
b) Ta có −−−→B′C′=−−→BC. Suy ra:
−−→BD⋅−−−→B′C′=−−→BD⋅−−→BC=BD⋅BC⋅cos(−−→BD,−−→BC)
=a√2⋅a⋅cosˆDBC=a2√2⋅cos45∘=a2√2⋅√22=a2.
c) Ta có −−−→A′B′=−−→AB. Suy ra −−−→A′B′⋅−−→AC′=−−→AB⋅−−→AC′=AB⋅AC′⋅cos(−−→AB,−−→AC′)(1).
Ta sẽ tính cạnh AC′ và xác định góc (−−→AB,−−→AC′).
Ta có CB⊥AB suy ra C′B⊥AB, do đó tam giác ABC′ vuông tại B.
Xét tam giác ABC′ có AC′=√AB2+BC′2=√a2+2a2=a√3.
Lại có (−−→AB,−−→AC′)=ˆBAC′ suy ra cos(−−→AB,−−→AC′)=cosˆBAC′=ABAC′=aa√3=1√3.
Thay AC′=a√3 và cos(−−→AB,−−→AC′)=1√3 vào (1) ta được:
−−−→A′B′⋅−−→AC′=AB⋅AC′⋅cos(−−→AB,−−→AC′)=a⋅a√3⋅1√3=a2.
