Giải bài 2.14 trang 46

Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) (overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'D'} ); b) (overrightarrow {BD} cdot overrightarrow {B'C'} ); c) (overrightarrow {A'B'} cdot overrightarrow {AC'} ).

Đề bài

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) $\vec{A C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}}$ ;

b) $\vec{B D} \cdot \vec{B^{'} C^{'}}$ ;

c) $\vec{A^{'} B^{'}} \cdot \vec{A C^{'}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Đưa hai vectơ về một gốc, ta thấy hai vectơ vuông góc.

Ý b: : Đưa hai vectơ về một gốc, từ đó xác định góc giữa chúng từ áp dụng công thức tích vô hướng để giải.

Ý c: Đưa hai vectơ về một gốc, áp dụng kiến thức về định lý ba đường vuông góc trong quá trình tìm cạnh và góc, cuối cùng tính toán, áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B D}$ .

Mặt khác $B D ⊥ A C$ (do ABCD là hình vuông) hay $\vec{B D} ⊥ \vec{A C}$ ,

suy ra $\vec{A C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ .

b) Ta có $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{B C}$ . Suy ra:

$\vec{B D} \cdot \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{B D} \cdot \vec{B C} = B D \cdot B C \cdot \cos (\vec{B D}, \vec{B C})$

$= a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos \hat{D B C} = a^{2} \sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ} = a^{2} \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

c) Ta có $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{A B}$ . Suy ra $\vec{A^{'} B^{'}} \cdot \vec{A C^{'}} = \vec{A B} \cdot \vec{A C^{'}} = A B \cdot A C^{'} \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C^{'}}) (1)$ .

Ta sẽ tính cạnh $A C^{'}$ và xác định góc $(\vec{A B}, \vec{A C^{'}})$ .

Ta có $C B ⊥ A B$ suy ra $C^{'} B ⊥ A B$ , do đó tam giác $A B C^{'}$ vuông tại $B$ .

Xét tam giác $A B C^{'}$ có $A C^{'} = \sqrt{A B^{2} + B {C^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Lại có $(\vec{A B}, \vec{A C^{'}}) = \hat{B A C^{'}}$ suy ra $\cos (\vec{A B}, \vec{A C^{'}}) = \cos \hat{B A C^{'}} = \frac{A B}{A C^{'}} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Thay $A C^{'} = a \sqrt{3}$ và $\cos (\vec{A B}, \vec{A C^{'}}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ vào $(1)$ ta được:

$\vec{A^{'} B^{'}} \cdot \vec{A C^{'}} = A B \cdot A C^{'} \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C^{'}}) = a \cdot a \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = a^{2}$ .