Giải bài 2.15 trang 45

Đề bài

Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn $θ$ lớn nhất)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.

Lời giải chi tiết

Đặt AC = x (m) ta có $C D = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $B C = \sqrt{x^{2} + 49}$

Ta có: $\sin B = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}$

Xét tam giác BDC có:

$\frac{C D}{\sin B} = \frac{B D}{\sin θ} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}} = \frac{4}{\sin θ} \Leftrightarrow \sin θ = \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 49} . \sqrt{x^{2} + 9}}$

Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn $θ$ lớn nhất.

Xét hàm số $y = \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 49} . \sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{4 x}{\sqrt{x^{4} + 58 x^{2} + 441}}, x > 0$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 4 x^{4} + 1764}{(x^{4} + 58 x^{2} + 441) \sqrt{x^{4} + 58 x^{2} + 441}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{21} \approx 4, 58$

Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.