Giải bài 2.15 trang 46

Cho hình chóp S.ABC có (SA = SB = SC) và (widehat {ASB} = widehat {BSC} = widehat {CSA}). Chứng minh rằng (overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {BC} = overrightarrow {SB} cdot overrightarrow {AC} = overrightarrow {SC} cdot overrightarrow {AB} ).

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có $S A = S B = S C$ và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A}$ .

Chứng minh rằng $\vec{S A} \cdot \vec{B C} = \vec{S B} \cdot \vec{A C} = \vec{S C} \cdot \vec{A B} = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý ba đường vuông góc để tìm hình chiếu của $S$ trên $(A B C)$ , tiếp tục dùng định lý này để chứng minh $S A ⊥ B C$ , $S B ⊥ A C$ và $S C ⊥ A B$ . Từ đó suy ra các tích vô hướng của từng cặp vuông góc đều bằng 0, do đó chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có ba tam giác $S A B, S A C, S A B$ đôi một bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó $A B = B C = A C$ (cạnh tương ứng), suy ra tam giác $A B C$ là tam giác đều.

Giả sử $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(A B C)$ , kẻ $H M ⊥ B C$ với $M \in B C$ ta có $S M ⊥ B C$ .

Mặt khác, tam giác $S B C$ cân tại $S$ (giả thiết $S B = S C$ ) suy ra $M$ là trung điểm cạnh $B C$ .

Từ đó suy ra $H M$ là một phần đường trung tuyến của tam giác $A B C$ .

Tương tự, kẻ $H N ⊥ A B$ ta thu được $H N$ là một phần đường trung tuyến của tam giác

$A B C$ . Do đó ta có $H$ là trọng tâm tam giác $A B C$ .

Ta có $A M$ là hình chiếu của $S A$ trên $(A B C)$ và $A M ⊥ B C$ suy ra $S A ⊥ B C$ do đó $\vec{S A} \cdot \vec{B C} = 0$

Chứng minh tương tự ta thu được $S B ⊥ A C$ và $S C ⊥ A B$ .

Vậy $\vec{S A} \cdot \vec{B C} = \vec{S B} \cdot \vec{A C} = \vec{S C} \cdot \vec{A B} = 0$ .