Giải bài 2.16 trang 37

Đề bài

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

$C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4...+C_{2n}^{2n}=2^{2021}$

Lời giải chi tiết

$(1+x{)}^{2n}=C_{2n}^0+C_{2n}^{1}x+C_{2n}^2{x}^2+...+C_{2n}^{2n}{x}^{2n}$

Thay $x=1$ vào hai vế, ta suy ra

$C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+...+C_{2n}^{2n}=2^{2n}$

Thay $x=-1$ vào hai vế, ta suy ra

$C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-...+C_{2n}^{2n}=0$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left(C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+...+C_{2n}^{2n}\right)+\left(C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-...+C_{2n}^{2n}\right)=2^{2n}\\ \iff 2\left(C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+...+C_{2n}^{2n}\right)=2^{2n}\\ \iff C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+...+C_{2n}^{2n}=2^{2n-1}\\ \iff 2n-1=2021\\ \iff n=1011\end{array}$