Giải bài 2.18 trang 37

Đề bài

Biết rằng $(2+x{)}^{100}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{100}{x}^{100}$. Với giá trị nào của k $(0\le k\le 100)$ thì $a_k$ lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{c}(2+x{)}^{100}=C_{100}^0{2}^{100}+C_{100}^1{2}^{99}x+C_{100}^2{2}^{98}{x}^2+...+C_{100}^{100}{x}^{100}\\ \Rightarrow a_k=2^{100-k}{C}_{100}^k\end{array}$

Để $a_k$ lớn nhất thì $a_{k-1}\le a_k\ge a_{k+1}\forall k$

$\begin{array}{c}\iff 2^{101-k}{C}_{100}^{k-1}\le 2^{100-k}{C}_{100}^k\ge 2^{99-k}{C}_{100}^{k+1}\\ \iff 2^{101-k}\frac{100!}{(k-1)!\left(101-k\right)!}\le 2^{100-k}\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}\ge 2^{99-k}\frac{100!}{(k+1)!\left(99-k\right)!}\\ \iff 2^2\frac{1}{\left(101-k\right)(100-k)}\le 2.\frac{1}{k\left(100-k\right)}\ge \frac{1}{k(k+1)}\\ \iff \{\begin{array}{c}\frac{4}{\left(101-k\right)(100-k)}\le \frac{2}{k\left(100-k\right)}\\ \frac{2}{k\left(100-k\right)}\ge \frac{1}{k(k+1)}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{101-k}\le \frac{1}{k}\\ \frac{2}{100-k}\ge \frac{1}{k+1}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2k\le 101-k\\ 2(k+1)\ge 100-k\end{array}\\ \iff \frac{98}{3}\le k\le \frac{101}{3}\Rightarrow k=33(k\in N)\end{array}$

Vậy $a_{33}$ là lớn nhất.