Giải bài 2.2 trang 32

Đề bài

Một cơ sở sản xuất hai loại sữa chua X và Y. Nguyên liệu chính để sản xuất hai loại sữa chua này dâu tây, sữa và đường. Để sản xuất một đơn vị sữa chua X và một đơn vị sữa chua Y cần lượng nguyên liệu như trong bảng:

Nguồn nguyên liệu dự trữ dâu tây, sữa và đường lần lượt là 1,2 tấn; 0,8 tấn và 0,3 tấn. Giá bán mỗi đơn vị sữa chua X và Y lần lượt là 800 nghìn đồng và 1,2 triệu đồng. Cơ sở sản xuất cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sữa chua X và Y để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi x và y lần lượt là số đơn vị sữa chua X và Y cần sản xuất.

Lợi nhuận thu được là: 0,8x + 1,2y (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình sau:

$\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 0\le y\le 300\\ 2x+3y\le 1200\\ 2x+y\le 800\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tứ giác ABCD được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 300), B(150; 300), C(300; 200), D(400; 0).

Ta có đường thẳng BC có phương trình là 2x + 3y = 1 200, nên với mọi điểm M(x; y) thuộc đường thẳng BC ta đều có:

F(x; y) = 0,8x + 1,2y = 0,4(2x+ 3y) = 0,4 . 1 200 = 480.

Vậy biểu thức F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 480 tại mọi điểm M(x; y) thuộc đoạn thẳng BC. Như vậy bài toán có vô số phương án tối ưu.

Vậy cơ sở sản xuất cần sản xuất x đơn vị sữa chua X và $y=400-\frac{2}{3}x$ đơn vị sữa chua Y với 150 ≤ x ≤ 300 thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.