Giải bài 2.20 trang 30

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) ${(x + 1)}^{3} - {(x - 1)}^{3} - 6 x^{2}$ ;

b) ${(2 x - 3)}^{2} + {(2 x + 3)}^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3)$ ;

c) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các hằng đẳng thức

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ;

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ;

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ ;

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ;

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ ;

Lời giải chi tiết

a) Ta có ${(x + 1)}^{3} - {(x - 1)}^{3} - 6 x^{2}$

$= x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) - 6 x^{2}$

$= x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 - 6 x^{2}$

$= (x^{3} - x^{3}) + (3 x^{2} + 3 x^{2} - 6 x^{2}) + (3 x - 3 x) + 1 + 1$

$= 2.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có:

${(2 x - 3)}^{2} + {(2 x + 3)}^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3)$

$= {(2 x - 3)}^{2} - 2. (2 x - 3) . (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{2}$

$= {[2 x - 3 - (2 x + 3)]}^{2}$

$= {(2 x - 3 - 2 x - 3)}^{2}$

$= {(- 6)}^{2} = 36$ .

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) Ta có:

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$= (x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})$

$= x^{3} - 3^{3} - (x^{3} + 2^{3})$

$= x^{3} - 27 - x^{3} - 8$

$= (x^{3} - x^{3}) - 27 - 8 = - 35.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.