Giải bài 2.20 trang 38

Đề bài

Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

a) Tính $S_1,S_2,S_3$

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{c}{S}_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3}\\ S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5}\\ S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}\end{array}$

b) Dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}$ với mọi số tự nhiên $n\ge 1$ (6)

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $S_1=\frac{1}{3}$

Vậy (*) đúng với $n=1$

Giải sử (*) đúng với $n=k$ tức là ta có $S_k=\frac{k}{2k+1}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $S_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}{S}_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\\ =\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}\\ =\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}\end{array}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.