Giải bài 2.20 trang 49

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $A\left(1;1;7\right)$, $B\left(2;4;7\right)$ và điểm $O^{\prime }$ thuộc tia $Ox$ sao cho $O{O}^{\prime }=3$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$.

b) Tìm tọa độ các điểm $O^{\prime },A^{\prime }$ và $B^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm $O^{\prime }$ thuộc tia $Ox$ nên tung độ và cao độ của $O^{\prime }$ đều là 0, mà $O{O}^{\prime }=3$ do đó $O^{\prime }\left(3;0;0\right)$. Suy ra $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\left(3;0;0\right)$.

b) Ta có $O^{\prime }\left(3;0;0\right)$. Giả sử $A^{\prime }\left(a;b;c\right)$ khi đó $\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\left(a-3;b;c\right)$.

Vì tứ giác $OA{A}^{\prime }{O}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}$ suy ra $\{\begin{array}{c}1=a-3\\ 1=b\\ 7=c\end{array}\iff a=4,b=1,c=7$.

Do đó $A^{\prime }\left(4;1;7\right)$. Tương tự giả sử $B^{\prime }\left(c;d;e\right)$ khi đó $\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(c-3;d;e\right)$.

Do $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$ suy ra $\{\begin{array}{c}2=c-3\\ 4=d\\ 7=e\end{array}\iff c=5,d=4,e=7$. Do đó $B^{\prime }\left(5;4;7\right)$.

Vậy $O^{\prime }\left(3;0;0\right)$, $A^{\prime }\left(4;1;7\right)$ và $B^{\prime }\left(5;4;7\right)$.