Giải bài 2.21 trang 38

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có ${10}^{2n+1}+1$ chia hết cho 11.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Với $n=0$ ta có ${10}^1+1⋮11$.

Vậy khẳng định đúng với $n=0$.

Giải sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ta có ${10}^{2k+1}+1$ chia hết cho 11.

Ta chứng minh (3) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  ${10}^{2k+3}+1$ chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

$\begin{array}{c}{10}^{2k+3}+1={10}^{2k+1}.100+1=({10}^{2k+1}+1).100+1-100\\ =({10}^{2k+1}+1).100+99⋮11\end{array}$

(vì ${10}^{2k+1}+1⋮11,99⋮11$).

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.