Giải bài 2.21 trang 39

Chứng minh rằng mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

Đề bài

Chứng minh rằng mỗi dãy số $(u_{n})$ sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) $u_{n} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n}$ ;

b) $u_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét thương: $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ , tìm được thương là một hằng số (q) thì dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân với $u_{1}$ ứng với $n = 1$ và công bội bằng q.

Lời giải chi tiết

a) Từ $u_{n} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n}$ suy ra $u_{n + 1} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$

Do đó, $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{- 3. {(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{- 3. {(\frac{1}{2})}^{n}} = \frac{1}{2} \forall n$

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với $u_{1} = \frac{- 3}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$

b) Từ $u_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ suy ra $u_{n + 1} = \frac{2^{n + 1}}{3^{n}}$

Do đó, $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n}}}{\frac{2^{n}}{3^{n - 1}}} = \frac{2}{3} \forall n$

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với $u_{1} = 2$ và công bội $q = \frac{2}{3}$