Giải bài 2.22 trang 38

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có $5^n\ge 3^n+4^n$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n=2$ ta có $5^2=3^2+4^2$

Vậy BĐT đúng với $n=2$

Giải sử BĐT đúng với $n=k$ tức là ta có $5^k\ge 3^k+4^k$

Ta chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $5^{k+1}\ge 3^{k+1}+4^{k+1}$

Thật vậy, ta có

$3^{k+1}+4^{k+1}={3.3}^k+{4.4}^k\le 4.\left(3^k+4^k\right)\le {4.5}^k\le {5.5}^k=5^{k+1}$

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.