Giải bài 2.24 trang 29

Chứng minh rằng với số (a > 0,b > 0) bất kì, ta luôn có (frac{a}{b} + frac{b}{a} ge 2).

Đề bài

Chứng minh rằng với số $a > 0, b > 0$ bất kì, ta luôn có $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh hiệu $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0$ , suy ra $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a > 0, b > 0$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a b} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b}$

Với $a > 0, b > 0$ thì ${(a - b)}^{2} \geq 0, a b > 0$ , suy ra $\frac{{(a - b)}^{2}}{a b} \geq 0$ .

Do đó, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a > 0, b > 0$ .