Giải bài 2.25 trang 54

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;4\right),\overrightarrow{b}=\left(2;7;7\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(2;7;2\right)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}$.

b) Tính các tích vô hướng $\left(-\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}$ và $\left(3\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{c}$.

c) Tính côsin của các góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(3-2+2;0-7+7;4-7+2\right)=\left(3;0;-1\right)$.

$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}=\left(6+6-8;0+21-28;8+21-8\right)=\left(4;-7;21\right)$.

b) Ta có:

$\left(-\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=-\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)=-\left(6+0+28\right)=-34$; $\left(3\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{c}=3\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\right)=3\left(6+0+8\right)=42$.

c) Từ ý b ta có $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=34$ và $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=14$.

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{34}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{2^2+7^2+7^2}}=\frac{34}{5\cdot \sqrt{102}}=\frac{\sqrt{102}}{15}$;

$\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{c}\right|}=\frac{14}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{2^2+7^2+2^2}}=\frac{14}{5\sqrt{57}}$.