Giải bài 2.26 trang 38

Đề bài

Chứng minh rằng

$C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} . . . + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} . . . + C_{2 n}^{2 n - 1}$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} . . . + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$(1 + x)^{2 n} = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} x + C_{2 n}^{2} x^{2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} x^{2 n}$ (1)

Thay $x = 1$ vào hai vế của (1), ta suy ra

$C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} = 2^{2 n}$

Thay $x = - 1$ vào hai vế của (1), ta suy ra

$C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - . . . + C_{2 n}^{2 n} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} . . . + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} . . . + C_{2 n}^{2 n - 1} \\ \Rightarrow 2 (C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} . . . + C_{2 n}^{2 n - 1}) = 2^{2 n} \\ \Leftrightarrow C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} . . . + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2^{2 n - 1} \\ \Leftrightarrow 2048 = 2^{2 n - 1} \\ \Leftrightarrow 2^{11} = 2^{2 n - 1} \\ \Leftrightarrow n = 6 \end{array}$