Giải bài 2.27 trang 38

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị

$C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển $(a+b{)}^n$ biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải chi tiết

Với $n=1$ ta có $C_1^0=C_1^1=1.$

Với $n\ge 2$

Gọi $C_n^k(0<k<n)$ là giá trị lớn nhất.

Khi đó: $\{\begin{array}{c}{C}_n^k\ge C_n^{k-1}\left(1\right)\\ C_n^k\ge C_n^{k+1}\left(2\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge \frac{n!}{(k-1)!\left(n+1-k\right)!}\\ \iff \frac{1}{k}\ge \frac{1}{n+1-k}\iff n+1-k\ge k\\ \iff k\le \frac{n+1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(2\right)\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge \frac{n!}{(k+1)!\left(n-1-k\right)!}\\ \iff \frac{1}{n-k}\ge \frac{1}{k+1}\iff k+1\ge n-k\\ \iff k\ge \frac{n-1}{2}\end{array}$

Kết hợp ta được $\frac{n-1}{2}\le k\le \frac{n+1}{2}$

+ Nếu $n=2m\Rightarrow \frac{2m-1}{2}\le k\le \frac{2m+1}{2}\Rightarrow k=m$

+ Nếu $n=2m+1\Rightarrow \frac{2m}{2}\le k\le \frac{2m+2}{2}\Rightarrow k=m;k=m+1$

Áp dụng:

Ta có tổng các hệ số của khai triển $(a+b{)}^n$ là

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$

$\Rightarrow 2^n=4096=2^{12}\Rightarrow n=12$

Khi đó hệ số lớn nhất của khai triển $(a+b{)}^{12}$ là $C_{12}^6.$