Giải bài 2.27 trang 54

Trong không gian (Oxyz), cho tứ diện (ABCD) với (Aleft( {1;3; - 3} right)), (Bleft( {2;0;5} right)), (Cleft( {6;9; - 5} right)) và (Dleft( { - 1; - 4;3} right)). a) Tìm tọa độ trọng tâm (I) của tam giác (ABC). b) Tìm tọa độ của điểm (G) thuộc đoạn thẳng (DI) sao cho(DG = 3IG).

Đề bài

Trong không gian $O x y z$ , cho tứ diện $A B C D$ với $A (1; 3; - 3)$ , $B (2; 0; 5)$ , $C (6; 9; - 5)$ và $D (- 1; - 4; 3)$ .

a) Tìm tọa độ trọng tâm $I$ của tam giác $A B C$ .

b) Tìm tọa độ của điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $D I$ sao cho $D G = 3 I G$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Từ tọa độ của A, B, C tìm được tọa độ của I theo công thức tọa độ trọng tâm.

Ý b: Từ các điều kiện trong để lập được một đẳng thức vectơ liên quan đến tọa độ chưa biết của G (có thể đặt tham số cho nó) từ đó giải các phương trình và tìm được G.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $I (\frac{1 + 2 + 6}{3}; \frac{3 + 9}{3}; \frac{- 3 + 5 - 5}{3}) \Leftrightarrow I (3; 4; - 1)$ .

b) Giả sử $G (a; b; c)$ . Vì $G$ thuộc đoạn $D I$ và $D G = 3 I G$ nên $\vec{D G} = 3 \vec{G I}$

(do $G$ nằm giữa $D, I$ ).

Ta có $\vec{D G} = (a + 1; b + 4; c - 3)$ và $\vec{G I} = (3 - a; 4 - b; - 1 - c)$

Suy ra $\vec{D G} = 3 \vec{G I} \Leftrightarrow {\begin{cases} a + 1 = 9 - 3 a \\ b + 4 = 12 - 3 b \\ c - 3 = - 3 - 3 c \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \\ c = 0 \end{cases}$ .

Vậy $G (2; 2; 0)$ .