Giải bài 2.29 trang 54

Trong không gian (Oxyz), cho tam giác (ABC) với (Aleft( {3;5;2} right)), (Bleft( {0;6;2} right)) và (Cleft( {2;3;6} right)). Hãy giải tam giác (ABC).

Đề bài

Trong không gian $O x y z$ , cho tam giác $A B C$ với $A (3; 5; 2)$ , $B (0; 6; 2)$ và $C (2; 3; 6)$ . Hãy giải tam giác $A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các biến đổi, phép toán với vectơ, công thức tích vô hướng để lần lượt tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Lời giải chi tiết

Ta có $\vec{A B} = (- 3; 1; 0)$ và $\vec{A C} = (- 1; - 2; 4)$ suy ra $A B = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ và $A C = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$ .

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{A B \cdot A C} = \frac{3 - 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{21}} = \frac{1}{\sqrt{210}}$ . Suy ra $\hat{B A C} \approx 86, 04^{\circ}$ .

Ta có $\vec{B C} = (2; - 3; 4)$ và $\vec{B A} = (3; - 1; 0)$ suy ra $B C = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ và $A B = \sqrt{10}$ .

$\cos \hat{A B C} = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{A B \cdot B C} = \frac{6 + 3}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{9}{\sqrt{290}}$ . Suy ra $\hat{A B C} \approx 58, 096^{\circ}$ .

Do đó $\hat{B C A} \approx 39, 92^{\circ}$ . Vậy tam giác $A B C$ có các cạnh là $A B = \sqrt{10}$ , $B C = \sqrt{29}$ , $A C = \sqrt{21}$ ;

các góc là $\hat{B A C} \approx 86, 04^{\circ}$ , $\hat{A B C} \approx 54, 04^{\circ}$ , $\hat{B C A} \approx 35, 864^{\circ}$ .