Giải bài 2.3 trang 30

Đề bài

Chứng minh rằng $n^3-n+3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.

Lời giải chi tiết

Với $n=1$ ta có $1^3-1+3=3$ chia hết cho 3.

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$.

Giải sử mệnh đề đúng với $n=k$ tức là ta có $k^3-k+3$ chia hết cho 3.

Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $(k+1{)}^3-(k+1)+3$ chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}(k+1{)}^3-(k+1)+3=k^3+3k^2+3k+1-k-1+3\\ =k^3+3k^2+2k+3=(k^3-k+3)+3k^2+3k\\ =(k^3-k+3)+3(k^2+k)\end{array}$

chia hết cho 3 do $k^3-k+3⋮3$.

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.