Giải bài 2.3 trang 33

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_{n} = \frac{n}{2 n + 1};$

b) $u_{n} = n^{2} + n - 1;$

c) $u_{n} = - n^{2} + 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_{n} \leq M$ với mọi $n \in N *$ .

+ Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_{n} \geq m$ với mọi $n \in N *$ .

+ Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại m, M sao cho: $m \leq u_{n} \leq M$ với mọi $n \in N *$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $u_{n} = \frac{n}{2 n + 1} = \frac{\frac{1}{2} (2 n + 1) - \frac{1}{2}}{2 n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{2 n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 n + 1)}$

Suy ra $\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}$ với mọi $n \geq 1$ . Do đó, $(u_{n})$ là dãy số bị chặn

b) Ta có: $n - 1 \geq 0$ với mọi $n \geq 1$ . Do đó, $u_{n} = n^{2} + n - 1 \geq 1$ với mọi $n \geq 1$ . Do đó, dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi 1 với mọi $n \geq 1$ .

c) Ta có: $u_{n} = - n^{2} + 1 \leq 1$ với mọi $n \geq 1$ . Do đó, $(u_{n})$ là dãy số bị chặn trên bởi 1 với mọi $n \geq 1$ .