Giải bài 2.30 trang 54

Đề bài

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ $O x y z$ gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $B^{'} C D^{'}$ .

c) Chứng minh rằng ba điểm $O, G, A$ thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tìm tọa độ các đỉnh thuộc tia $O x, O y, O z$ trước, sau đó sử dụng các đẳng thức vectơ bằng nhau để tìm các điểm còn lại. Chú ý sử dụng giả thiết cạnh hình lập phương bằng 1.

Ý b: Dùng công thức tìm tọa độ trọng tâm.

Ý c: Chứng minh $\vec{O A}$ và $\vec{O G}$ cùng phương bằng đẳng thức $\vec{O A} = k \vec{O G}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có gốc tọa độ là $C^{'}$ nên $C^{'} (0; 0; 0)$ ; $B^{'}$ thuộc tia $O x$ và $O B^{'} = 1$ nên $B^{'} (1; 0; 0)$ ; $D^{'}$ thuộc tia $O y$ và $O D^{'} = 1$ nên $D^{'} (0; 1; 0)$ ; $C$ thuộc tia $O z$ và $O C = 1$ nên $C (0; 0; 1)$ .

Ta có $\vec{C^{'} C} = \vec{D^{'} D} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = x_{D} \\ 0 = y_{D} - 1 \\ 1 = z_{D} \end{cases} \Leftrightarrow D (0; 1; 1)$ ; $\vec{B^{'} B} = \vec{C^{'} C} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{B} - 1 = 0 \\ y_{B} = 0 \\ z_{B} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow B (1; 0; 1)$ ;

$\vec{B^{'} A^{'}} = \vec{C^{'} D^{'}} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} - 1 = 0 \\ y_{A^{'}} = 1 \\ z_{A^{'}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow A^{'} (1; 1; 0)$ ; $\vec{A^{'} A} = \vec{C^{'} C} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} - 1 = 0 \\ y_{A} - 1 = 0 \\ z_{A} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow A (1; 1; 1)$ .

Vậy $A (1; 1; 1)$ , $B (1; 0; 1)$ , $C (0; 0; 1)$ , $D (0; 1; 1)$ , $A^{'} (1; 1; 0)$ , $B^{'} (1; 0; 0)$ , $C^{'} (0; 0; 0)$

và $D^{'} (0; 1; 0)$ .

b) Ta có $B^{'} (1; 0; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ và $D^{'} (0; 1; 0)$ suy ra $G (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

c) Ta có $\vec{O G} = (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ ; $\vec{O A} = (1; 1; 1)$ . Suy ra $\vec{O A} = 3 \vec{O G}$ . Vậy ba điểm $O, G, A$ thẳng hàng.