Giải bài 2.30 trang 54

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $B^{\prime }C{D}^{\prime }$.

c) Chứng minh rằng ba điểm $O,G,A$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có gốc tọa độ là $C^{\prime }$ nên $C^{\prime }\left(0;0;0\right)$; $B^{\prime }$ thuộc tia $Ox$ và $O{B}^{\prime }=1$ nên $B^{\prime }\left(1;0;0\right)$; $D^{\prime }$ thuộc tia $Oy$ và $O{D}^{\prime }=1$ nên $D^{\prime }\left(0;1;0\right)$; $C$ thuộc tia $Oz$ và $OC=1$ nên $C\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }D}\iff \{\begin{array}{c}0=x_D\\ 0=y_D-1\\ 1=z_D\end{array}\iff D\left(0;1;1\right)$; $\overrightarrow{B^{\prime }B}=\overrightarrow{C^{\prime }C}\iff \{\begin{array}{c}{x}_B-1=0\\ y_B=0\\ z_B=1\end{array}\iff B\left(1;0;1\right)$;

$\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}-1=0\\ y_{A^{\prime }}=1\\ z_{A^{\prime }}=0\end{array}\iff A^{\prime }\left(1;1;0\right)$; $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{C^{\prime }C}\iff \{\begin{array}{c}{x}_A-1=0\\ y_A-1=0\\ z_A=1\end{array}\iff A\left(1;1;1\right)$.

Vậy $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(1;0;1\right)$, $C\left(0;0;1\right)$, $D\left(0;1;1\right)$, $A^{\prime }\left(1;1;0\right)$, $B^{\prime }\left(1;0;0\right)$, $C^{\prime }\left(0;0;0\right)$

và $D^{\prime }\left(0;1;0\right)$.

b) Ta có $B^{\prime }\left(1;0;0\right)$, $C\left(0;0;1\right)$ và $D^{\prime }\left(0;1;0\right)$ suy ra $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

c) Ta có $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$; $\overrightarrow{OA}=\left(1;1;1\right)$. Suy ra $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OG}$. Vậy ba điểm $O,G,A$ thẳng hàng.