Giải bài 2.39 trang 41

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.

Đề bài

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ và công thức số hạng tổng quát để tìm ra số hạng đầu tiên và công bội.

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

Cấp số nhân $u_{1} = u_{3} \frac{1}{q^{2}}, u_{2} = u_{3} . \frac{1}{q}, u_{3}, u_{4} = u_{1} . q, u_{5} = u_{1} . q^{2}$

Tích của 5 số hạng này là: $P = u_{3} \frac{1}{q^{2}} . u_{3} . \frac{1}{q} . u_{3} . u_{3} . q . u_{3} . q^{2} = u_{3}^{5}$ .

Suy ra $1024 = u_{3}^{5} \Rightarrow u_{3} = 4.$ (1).

Tổng của cấp số nhân 5 số hạng này là :

$\begin{array}{l} S_{5} = \frac{u_{3} \frac{1}{q^{2}} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{u_{3} (1 - q^{5})}{q^{2} (1 - q)} = \frac{4. (1 - q^{5})}{q^{2} (1 - q)} \Rightarrow 31 = \frac{4 (1 - q^{5})}{q^{2} (1 - q)} \\ \Rightarrow 31. q^{2} (1 - q) = 4 (1 - q^{5}) \\ \Rightarrow 31. q^{2} (1 - q) = 4 (1 - q) (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) \\ \Rightarrow (1 - q) (4 q^{4} + 4 q^{3} - 27 q^{2} + 4 q + 4) = 0 \\ \Rightarrow (1 - q) (\frac{4}{q^{2}} + \frac{4}{q} - 27 + 4 q + 4 q^{2}) = 0 \\ \Rightarrow (1 - q) (\frac{4}{q^{2}} + 8 + 4 q^{2} + \frac{4}{q} + 4 q - 35) = 0 \\ \Rightarrow (1 - q) ({(\frac{2}{q} + 2 q)}^{2} + 2 (\frac{2}{q} + 2 q) - 35) = 0 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} q = 1 \\ \frac{2}{q} + 2 q = - 7 \\ \frac{2}{q} + 2 q = 5 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} q = 1 (L) \\ 2 q^{2} + 7 q + 2 = 0 \\ 2 q^{2} - 5 q + 2 = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} q = \frac{\sqrt{33} - 7}{4} \\ q = \frac{- \sqrt{33} - 7}{4} \\ q = \frac{1}{2} \\ q = 2 \end{array} \end{array}$ .

Vậy có 4 nghiệm q thỏa mãn. Vậy có 4 cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài.