Giải bài 2.42 trang 57

Cho hình tứ diện (ABCD), chứng minh rằng: (overrightarrow {AB} = frac{1}{2}overrightarrow {AC} + frac{1}{2}overrightarrow {AD} + frac{1}{2}overrightarrow {CD} + overrightarrow {DB} ).

Đề bài

Cho hình tứ diện $A B C D$ , chứng minh rằng:

$\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{D B}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bắt đầu biến đổi từ vế trái từng bước suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{A D} + \vec{D B}) = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{C B} + \vec{D B}) \\ = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{C D} + \vec{D B} + \vec{D B}) = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} \cdot 2 \vec{D B} \\ = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{D B} . \end{array}$