Giải bài 2.43 trang 42

Trong các dãy số (unun{u_n}) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân?

Đề bài

Trong các dãy số ( $u_{n}$ ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) $u_{1} = 2, u_{n + 1} = u_{n} + n$

b) $u_{n} = 6 n + 3$

c) $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} . n$

d) $u_{n} = {3.5}^{n}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét $u_{n + 1} - u_{n}$ . Nếu ra một hằng số thì đó là cấp số cộng.

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ , nếu ra hằng số thì đó là cấp số nhân.

Nếu dãy số đó không phải là cấp số cộng, cấp số nhân, ta sử dụng công thức truy hồi suy ra $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ để chứng minh rằng $u_{2} - u_{1} \neq u_{3} - u_{2}$ và $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 2, u_{2} = 3, u_{3} = 5$ . Vì $u_{2} - u_{1} \neq u_{3} - u_{2}$ và $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên dãy số đã cho không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân.

b) Xét $u_{n + 1} - u_{n} = 6 (n + 1) + 3 - (6 n + 3) = 6$ . Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 1, u_{2} = 1, u_{3} = 2$ . Vì $u_{2} - u_{1} \neq u_{3} - u_{2}$ và $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên dãy số đã cho không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân.

d) Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{{3.5}^{n + 1}}{{3.5}^{n}} = 5$ . Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.