Giải bài 2.43 trang 57

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tạo với nhau một góc bằng ${60}^{\circ }$. Biết $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=3$, tính $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ và $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos {60}^{\circ }=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$. Ta bình phương $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ và $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ để tìm giá trị của chúng như sau:

${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=4+6+9=19$ suy ra $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{19}$.

${\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=4-6+9=7$ suy ra $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7}$.