Giải bài 2.44 trang 42

Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu $a_{1}, a_{2}, a_{3} . . .$ và $b_{1}, b_{2}, b_{3} . . .$ là hai cấp số cộng thì $a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3} . . .$ cũng là cấp số cộng.

b) Nếu $a_{1}, a_{2}, a_{3} . . .$ và $b_{1}, b_{2}, b_{3} . . .$ là hai cấp số nhân thì $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3} . . .$ cũng là cấp số nhân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét $u_{n + 1} - u_{n}$ . Nếu ra một hằng số thì đó là cấp số cộng.

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ , nếu ra hằng số thì đó là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Dãy số $a_{n}$ là cấp số cộng với công sai $d_{1}$ suy ra $a_{n + 1} - a_{n} = d_{1}$ .

Dãy số $b_{n}$ là cấp số cộng với công sai $d_{2}$ suy ra $b_{n + 1} - b_{n} = d_{2}$ .

Nên $(a_{n + 1} + b_{n + 1}) - (a_{n} + b_{n}) = d_{1} + d_{2}$ . Vậy đó là cấp số cộng với công sai $d_{1} + d_{2}$ .

b) Dãy số $a_{n}$ là cấp số nhân với công bội $q_{1}$ suy ra $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q_{1}$ .

Dãy số $b_{n}$ là cấp số nhân với công bội $q_{2}$ suy ra $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = q_{2}$ .

Vậy nên $\frac{a_{n + 1} . b_{n + 1}}{a_{n} . b_{n}} = \frac{q_{1}}{q_{2}}$ . Vậy đó là cấp số nhân với công bội $\frac{q_{1}}{q_{2}}$ .