Giải bài 2.46 trang 57

Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( {3; - 1;m} right)) và (Bleft( {m;4;m} right)). a) Tính côsin của góc (widehat {AOB}) theo (m). b) Xác định tất cả các giá trị của (m) để (widehat {AOB}) là góc nhọn.

Đề bài

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (3; - 1; m)$ và $B (m; 4; m)$ .

a) Tính côsin của góc $\hat{A O B}$ theo $m$ .

b) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để $\hat{A O B}$ là góc nhọn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Áp dụng công thức tính tính vô hướng của hai vectơ liên hệ với côsin của góc tạo bởi hai vectơ.

Ý b: Tìm m để $\cos i n \hat{A O B} > 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\vec{O A} = (3; - 1; m)$ và $\vec{O B} = (m; 4; m)$ .

Mặt khác $\hat{A O B} = (\vec{O A}, \vec{O B})$ , suy ra $\cos i n \hat{A O B} = \cos i n (\vec{O A}, \vec{O B})$ $= \frac{\vec{O A} \cdot \vec{O B}}{| \vec{O A} | \cdot | \vec{O B} |}$

$= \frac{m^{2} + 3 m - 4}{\sqrt{10 + m^{2}} \sqrt{2 m^{2} + 16}}$ .

b) Để $\hat{A O B}$ là góc nhọn thì $\cos i n \hat{A O B} > 0$ , suy ra $\frac{m^{2} + 3 m - 4}{\sqrt{10 + m^{2}} \sqrt{2 m^{2} + 16}} > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 3 m - 4 > 0 \Leftrightarrow m < - 4$ hoặc $m > 1$ .