Giải bài 2.5 trang 30

Đề bài

Chứng minh rằng nếu $x>-1$ thì  $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ với mọi số tự nhiên n.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp

Với $n=0$ ta có $(1+x{)}^0\ge 1+0.x$

Vậy (5) đúng với $n=0$

Giải sử (5) đúng với $n=k$ tức là ta có $(1+x{)}^k\ge 1+kx$

Ta chứng minh (5) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$

Thật vậy, ta có

$(1+x{)}^{k+1}=(1+x)(1+x{)}^k\ge (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+k{x}^2\ge 1+(k+1)x$

Do $1+x>0,k{x}^2\ge 0$

Vậy (5) đúng với mọi số tự nhiên n.