Giải bài 2.5 trang 34

Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) xác định bởi hệ thức truy hồi: ({u_1} = 1,{u_{n + 1}} = {u_n} + left( {n + 1} right))

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi hệ thức truy hồi: $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} + (n + 1)$

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng $1 + 2 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Chứng minh rằng $u_{n + 1} + u_{n} = {(n + 1)}^{2}$ , tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta kí hiệu $u = u (n)$ bởi $(u_{n})$ , do đó dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}, . . .$ Số $u_{1}$ gọi là số hạng đầu, số $u_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số

Lời giải chi tiết

a) Bảy số tam giác đầu là:

$u_{1} = 1, u_{2} = 1 + (1 + 1) = 3, u_{3} = 3 + (2 + 1) = 6, u_{4} = 6 + (3 + 1) = 10, u_{5} = 10 + (4 + 1) = 15,$

$u_{6} = 15 + (5 + 1) = 21, u_{7} = 21 + (1 + 6) = 28$

b) Ta nhận thấy: $u_{2} = 1 + 2, u_{3} = 1 + 2 + 3, u_{4} = 1 + 2 + 3 + 4, . .$

Do đó, ta dự đoán: $u_{n + 1} = 1 + 2 + . . . + (n + 1) = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$

c) Theo công thức phần b ta có:

$u_{n + 1} + u_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2 + n)}{2} = {(n + 1)}^{2}$

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.