Giải bài 2.50 trang 43

Đề bài

Một dãy số (un)$\left(u_n\right)$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u1=a,un+1=qun+d$u_1=a,u_{n+1}=q{u}_n+d$

Nếu q=1$q=1$ ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d=0$d=0$ ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q≠1$q\ne 1$. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un$u_n$.

b) Thiết lập công thức tính tổng Sn$S_n$của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (un)$\left(u_n\right)$.

Lời giải chi tiết

Ta viết lần lượt các số hạng của dãy

u1=a,u2=qu1+du3=qu2+d=q(qu1+d)+d=q2u1+d(q+1)u4=qu3+d=q(q2u1+d(q+1))+d=q3u1+d(q2+q+1)=q3u1+d1−q31−q.

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát

un=qn−1u1+d1−qn−11−q.

b) Ta viết tổng n số hạng như sau:

Sn=u1+u2+...+un=u1+(qu1+d)+(qu2+d)+...(qun−1+d)=u1+qSn−1+(n−1)d

Vậy ta được Sn cũng là một cấp số nhân cộng với S1=u1

Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được

Sn=qn−1S1+d1−qn−11−q=qn−1u1+d1−qn−11−q.