Giải bài 2.6 trang 21

a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh ({a^2}) chia 3 dư 1.

Đề bài

a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh $a^{2}$ chia 3 dư 1.

b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh $a^{2}$ chia 5 dư 4.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hằng đẳng thức:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

a) a chia 3 dư 2 nên $a = 3 n + 2$ .

b) a chia 5 dư 3 nên $a = 5 n + 3$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì a chia 3 dư 2 nên $a = 3 n + 2$ .

Ta xét

$a^{2} = {(3 n + 2)}^{2} = 9 n^{2} + 12 n + 4 = 9 n^{2} + 12 n + 3 + 1 = 3 (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1$

Vì $3 (3 n^{2} + 4 n + 1) ⋮ 3$ nên $3 (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1$ chia 3 dư 1.

Vậy $a^{2}$ chia 3 dư 1.

b) Vì a chia 5 dư 3 nên $a = 5 n + 3$ .

Ta xét

$a^{2} = {(5 n + 3)}^{2} = 25 n^{2} + 30 n + 9 = 25 n^{2} + 30 n + 5 + 4 = 5 (5 n^{2} + 6 n + 1) + 4$

Vì $5 (5 n^{2} + 6 n + 1) ⋮ 3$ nên $5 (5 n^{2} + 6 n + 1) + 4$ chia 5 dư 4.

Vậy $a^{2}$ chia 5 dư 4.