Giải bài 2.6 trang 30

Đề bài

Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$.

a) Tính $S_1,S_2,S_3.$

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{c}{S}_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\\ S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\\ S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\end{array}$

b) Dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$ với mọi số tự nhiên $n\ge 1$ (6)

Ta chứng minh (6) bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $S_1=\frac{1}{2}$

Vậy (6) đúng với $n=1$

Giải sử (5) đúng với $n=k$ tức là ta có $S_k=\frac{k}{k+1}$

Ta chứng minh (3) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}{S}_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\ =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\\ =\frac{{(k+1)}^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}\end{array}$

Vậy (6) đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.